Matrices gamma

En física matemática, las matrices gamma, ${\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}}$, también conocidas como matrices de Dirac, son un conjunto de matrices convencionales junto con unas relaciones de anticonmutación que aseguran que generen una representación matricial del álgebra de Clifford ${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{1,3}(\mathbf {R} )}$. También es posible definir matrices gamma en más dimensiones. Interpretadas como las matrices de la acción de un conjunto de vectores de una base ortogonal para vectores contravariantes en el espacio de Minkowski, los vectores columna sobre los que actúa la matriz se transforman en un espacio de espinores, sobre los que actúa el álgebra de Clifford del espaciotiempo. Esto a su vez hace posible representar rotaciones espaciales y transformaciones de Lorentz infinitesimales. El empleo de espinores en general facilita los cálculos en el espaciotiempo, y en particular es fundamental en la ecuación de Dirac para partículas relativistas de espín ½.

En la representación de Dirac, las cuatro matrices gamma contravariantes son

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \gamma ^{0}}$ es una matriz tipo tiempo y el resto son matrices tipo espacio.

Se pueden definir conjuntos análogos de matrices para cualquier dimensión y signatura de la métrica. Por ejemplo, las matrices de Pauli forman un conjunto de matrices "gamma" en dimensión 3 con signatura métrica euclidiana (3,0). En cinco dimensiones espaciotemporales, las cuatro matrices gamma de arriba junto con la quinta matriz gamma, presentada más abajo, generan el álgebra de Clifford.